Programa de estudios de Matemáticas V

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  • Relaciones y funciones (10 hrs).

    En esta unidad se definen producto cartesiano, relación y función. La función se clasifica por las operaciones que la definen, la forma en que está expresada y las propiedades que presenta.

    • Producto cartesiano
    • Relaciones
      • Implícitas y explícitas
      • Algebraicas y no algebraicas
      • Crecientes y decrecientes
      • Continuas y discontinuas
    • Funciones
      • Dominio y rango
      • Inyectivas, suprayectivas y biyectivas
      • Gráfica de una función
      • Función inversa
  • Funciones trigonométricas (20 hrs).

    En esta unidad se revisan las razones trigonométricas, se definen las funciones trigonométricas directas e inversas. Se determina el dominio, el rango y se traza la gráfica correspondiente a cada una de ellas en el plano cartesiano.

    • Razones trigonométricas
    • Resolución de triángulos rectángulos
    • Funciones trigonométricas de dos ángulos
    • Ley de senos
    • Ley de cosenos
    • Resolución de triángulos oblicuángulos
    • Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante
    • Fórmulas de reducción
    • Medida de un ángulo
    • Círculo trigonométrico
    • Funciones trigonométricas directas
      • Dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica
    • Funciones trigonométricas inversas
      • Ramas principales
      • Dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas
  • Funciones exponenciales y logarítmicas (8 hrs).

    En esta unidad se definen las funciones exponencial y logarítmica como funciones inversas, determinándose el dominio, el rango y la gráfica correspondiente. Se resuelven ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Al término de esta unidad se introducirá la parte operativa del curso.

    • Funciones exponenciales
      • Dominio, rango gráfica y asíntotas
    • Ecuaciones exponenciales
    • Funciones logarítmicas
      • Dominio, rango y gráfica
    • Ecuaciones logarítmicas
  • Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos (42 hrs).

    En esta unidad se localizan puntos en una, en dos y en tres dimensiones. Se calcula la distancia entre dos puntos y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. Se definen coordenadas polares, se repasan razones trigonométricas, se clasifican polígonos por sus lados y por sus ángulos. Se determinan perímetros y Áreas de ellos. Se definen algunas de las rectas notables de un triángulo y sus puntos de intersección. Se define pendiente de una recta y se establecen las condiciones analíticas de paralelismo y perpendicularidad, así como ángulo entre dos rectas que se cortan.

    • Localización de puntos en la recta numérica
    • Coordenadas cartesianas y polares en el plano
    • Coordenadas cartesianas en el espacio
    • En la recta
      • Segmento dirigido
      • Distancia entre dos puntos
      • Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada
    • En el plano
      • Distancia entre dos puntos
      • Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada
    • En el espacio
      • Distancia entre dos puntos
      • Coordenadas del punto que divide al segmento en el espacio
    • Clasificación de polígonos por sus lados y por sus ángulos
    • Semejanza de triángulos
    • Pendiente de una recta
      • Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
    • Ángulo entre dos rectas
    • Cálculo del área de un polígono
  • Discusión de ecuaciones algebraicas (10 hrs).

    En esta unidad, se aborda uno de los problemas fundamentales de la geometría analítica: dada una ecuación, representarla gráficamente. Esto es, determinar las intersecciones con los ejes coordenados, la tría respecto a los ejes y al origen, la extensión, las asíntotas y la gráfica.

    • Discusión de una ecuación
    • Intersecciones con los ejes
    • Simetría con los ejes y el origen
    • Extensión: Dominio y rango de la relación
    • Asíntotas horizontales y verticales
    • Gráfica del conjunto solución
  • Ecuación de primer grado (15 hrs).

    En esta unidad a partir de la definición de recta como lugar geométrico se obtiene su ecuación. Ésta se determina en función de dos condiciones. Se expresa en las formas general, simplificada, simétrica y normal. Se calcula la distancia de un punto a una recta, la distancia entre rectas paralelas. Se obtienen las ecuaciones de las medianas, de las mediatrices, de las alturas, de las bisectrices así como sus respectivos puntos de intersección.

    • Ecuación de un lugar geométrico
    • Definición de la recta como lugar geométrico
    • Obtención de la ecuación de una recta
    • Formas de la ecuación de la recta
    • Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo y sus puntos de intersección
    • Distancia de un punto a una recta
    • Ecuación de la bisectriz de un ángulo
    • Ecuación de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo y su punto de intersección
    • Distancia entre dos rectas paralelas
  • Ecuación general de segundo grado (5 hrs).

    En esta unidad se definen, en general, las cónicas como lugar geométrico. Se establece la ecuación general de segundo grado y se abordan criterios para determinar la curva representada por ella. Se introducen los conceptos de translación y rotación de ejes coordenados.

    • Las cónicas, ecuación general de segundo grado
    • Excentricidad
    • Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado
    • Translación de ejes
    • Rotación de ejes
  • Circunferencia (10 hrs).

    En esta unidad, a partir de su definición como lugar geométrico, se obtiene la ecuación de la circunferencia en las formas ordinaria y general. Se determinan las coordenadas del centro y la longitud del radio; se consideran circunferencias específicas y se distingue entre circunferencia y círculo. Se resuelven problemas de aplicación en otras disciplinas.

    • La circunferencia como lugar geométrico
    • Formas ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    • Radio de la circunferencia
    • Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k), en las formas ordinaria y general
    • Centro y radio de una circunferencia
    • Circunferencia determinada por tres condiciones
    • Círculo
    • Elementos de una circunferencia
    • Familia de circunferencias
  • Parábola (10 hrs).

    En esta unidad, a partir de su definición como lugar geométrico, se construye la parábola con regla y compás, se obtiene su ecuación en las formas ordinaria y general, cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados, el vértice es un punto cualquiera del plano pero el eje focal es paralelo a alguno de los ejes coordenados. Se obtiene la ecuación cuando se conocen algunos de sus elementos. Se determinan éstos y se traza la gráfica correspondiente si se conoce su ecuación. Se determina la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos, sabiendo la posición del eje focal. Finalmente se determina la ecuación cuando el eje focal es oblicuo respecto a los ejes coordenados. Se resuelven problemas de aplicación en otras disciplinas.

    • Parábola como lugar geométrico
    • Construcción de una parábola con regla y compás
    • Su ecuación en las formas ordinaria y general, cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados
    • Ecuación de una parábola con vértice en el origen, conocidos algunos de sus elementos
    • Obtención de los elementos de una parábola
    • Ecuación de la parábola en las formas ordinaria y general, con vértice en un punto cualquiera en ele plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
    • Elementos de una parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
    • Parábola que pasa por tres puntos
    • Ecuación de una parábola con vértice fuera del origen y eje focal oblicuo respecto a los ejes coordenados
  • Elipse (10 hrs).

    En esta unidad, a partir de su definición como lugar geométrico, se construye la elipse con regla y compás, se obtiene su ecuación, en las formas ordinaria y general, cuando el centro está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados, el centro es un punto cualquiera del plano, pero el eje focal es paralelo a alguno de los ejes coordenados. Se obtiene la ecuación cuando se conocen algunos de sus elementos. Conocida su ecuación se determinan sus elementos y se traza la gráfica correspondiente. Se determina la ecuación de una elipse que pasa por cuatro puntos. Se resuelven problemas de aplicación en otras disciplinas.

    • Definición de elipse como lugar geométrico
    • Construcción de una elipse con regla y compás
    • Relación entre los parámetros a, b y c
    • Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los eje coordenados
    • Elementos de una elipse
    • Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
    • Elementos de una elipse, con centro fuera del origen, a partir de su ecuación
    • Elipse que pasa por cuatro puntos
  • Hipérbola (10 hrs).

    En esta unidad a partir de su definición como lugar geométrico se construye la hipérbola con regla y compás, se obtiene su ecuación, en las formas ordinaria y general, cuando el centro está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados, el centro es un punto cualquiera del plano pero el eje focal es paralelo a alguno de los ejes coordenados. Se obtiene la ecuación cuando se conocen algunos de sus elementos. Estos se determinan y se traza la gráfica correspondiente si se conoce su ecuación. Se obtiene la ecuación de una hipérbola que pasa por cuatro puntos. Se consideran hipérbolas equiláteras y conjugadas. Se resuelven problemas de aplicación en otras disciplinas.

    • Hipérbola como lugar geométrico
    • Construcción   de  una  hipérbola  con regla y compás.
    • Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c.
    • Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen  y  eje  focal  sobre alguno de los ejes  coordenados.
    • Elementos   de   una   hipérbola   con centro en el origen.
    • Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a  alguno de los ejes coordenados.
    • Elementos de una hipérbola, con centro fuera del origen, a  partir de su ecuación.
    • Hipérbola equilátera o rectangular.
    • Hipérbola que pasa  por cuatro puntos.

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